“用二分法求方程的近似解”教案-飞外

２．新课引入（旨在引导学生怎样寻求一种恰当的方法——怎么样） 【问题１】人们常说“天下乌鸦一般黑”，如果有人对此有怀疑，想要否定它，他该如何做？

教师：当结论只有成立或不成立两种情形时，可用反证法．譬如，我们找到了一只或几只（换句话说就是至少有一只）白乌鸦，那么就可以否定“天下乌鸦一般黑”．

【问题２】当电灯不亮的时候，若要寻找原因，我们是如何做的？ 教师：我们一般会检查电灯或开关是否坏了，抑或是保险丝烧了、外部线路坏了，等等．如果是外部线路坏了，而线路又很长（譬如几千米甚至几十千米以上），我们要进一步确定线路究竟坏在那里时，一般有经验的电工总是先根据停电的范围来确定断路的可能区间，再采用对分法来逐段排除，从而很快地找到线路究竟坏在何处．这种方法叫做分类归缪法．

引导：解决问题的途径一般有两种，一是从已知条件→结论（演绎推理），二是从问题的结论→已知信息→与已知条件矛盾．后一种方法又常采用归缪法，它又可细分为：（１）反证法．当结论只有成立或不成立两种情形时．譬如，我们要说明平面内两条直线的位置关系——平行或相交时，即可用反证法．譬如，两直线不相交，它们就必平行；反之，如果它们不平行，它们就必相交．（２）选择法．供选择的结论不多．

【例】下列那一项是三次方程x4x7x100的解？

A．－

2B．－

5C．

4D．3

（３）分类归缪法．供选择的结论很多．譬如，要证明有关三角形的某个定理，我们并不是对每个三角形进行论证的，而是分别从锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形等三种情形加以证明．

思考：分类归缪法与方程的解有关系吗？（类比法难在要找出似乎毫无关联的两类事物之间的相同之处）

引导：从前一节我们了解了方程的根与函数零点的关系，事实上，零点就是对应方程的实根，它是方程的精确解．但在实际问题中，这个解一般不易求出，在应用上，我们更多地是求满足一定精确度的近似解．很显然，要找到零点，就像电工师傅一样，可用分类归缪法来寻找，即在一个单调区间内，若两端点处的函数值同号，那么区间内对应方程必定无实根；反之，若两端点处的函数值异号，那么区间内对应方程必定有一实根（为方便起见，一般取其中点作为近似解）．通过逐个排除，从而逐渐缩小区间的范围，直到找出满足精确度的近似解．为了便于计算机计算，在求方程的近似解时，可采用二分法．（其实，如果我们借助几何画板寻找零点时就不一定要用二分法）

３．新课（怎么做）

让学生陈述课前预习时所掌握的二分法的原理以及解题步骤．教师在黑板上作纪录，并

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逐步补充完整．

注意：（１）从几何上看，求方程的解其实是找相应函数图象与x轴交点或两个函数图象交点的横坐标，而二分法并不是直接寻找交点，而是寻找函数值变号的一个尽可能小的区间中的某个值；

（２）求方程的近似解时，精确解（m）是未知的．当相邻两个近似解满足|xi1xi|(iN*)时，由f(xi1)f(xi)0，说明精确解介于xi1和xi之间，故有|xi1m|(iN*)或|xim|(iN*)，所以xi1和xi都已满足精确度，均可作为近似解．所以通过比较相邻两个的近似解可以确定精确度；

（３）如果方程有整数解，那么用二分法解方程反而有可能得不到此解；同样地，如果方程有重根，即相应函数在区间端点的函数值不变号，曲线与x轴相切时，这个解也可能求不出．

【例１】用二分法求方程x1.1x0.9x1.40在0与1之间的实根的近似值，使误差不超过0.001．

为方便起见，可借助几何画板的计算功能进行演示（见图3）．

操作过程：①根据精确度要求，通过参数选项选择精确度（如万分之一）； ②绘制函数图象；

③利用函数计算函数值，同时计算区间中点的值； ④计算误差，并确定近似解． 由计算可知，此方程的近似解为x0.670或x0.671．（事实上，从函数值来看，x0.671会更精确些．显然，要得到一个比较精确的值，其计算次数是比较大的．（说明其收敛速度慢，所以在实际应用中比较少用）

练习：

（１）求方程

lnx2x60的近似解，使误差不超过0.01．

（为了减少计算量，可先作出函数ylnx和y2x6的图象，确定其交点横坐标的大概值．

图3 练习时，可让同桌同学合作，一个计算，另一个纪录）

（２）借助计算器用二分法求方程23x7的近似解（精确度0.1）． ４．拓展探究（从几何画板方面）

【例２】利用几何画板求方程23x7的近似解（精确度0.0001）．

【解析】几何画板中用解析式绘制的函数图象与坐标轴不能构造交点，但利用不是用解析式绘制的图形，那是可以构造交点并度量其坐标的．既然是求方程的近似解，所以我们可

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以在零点附近构造一条线段（弦），然后构造弦与x轴的交点并度量其横坐标．接着，一端固定（此点的选择与函数的单调性以及凹性有关，如此题的A点），另一端在曲线上找一点（其横坐标等于交点的横坐标），两端点连成新的弦，再构造交点，依次进行下去，直到求出满足精确度的近似解为止（见图4）．显然，x1.4332满足要求．

５．课堂小结

（１）二分法是分类归谬法的一种具体表现形式（体现方法的通性）；

（２）引导学生回顾二分法，明确它是一种求一元方程近似解的通法（仅适用于单调区间上端点函数值异号的情形）；

（３）利用估值或根据函数图象（简图）确定初始区间；

（４）近似解精确度的估算：|xi1xi|(iN*)；

图4 （５）揭示算法定义，了解算法特点．

算法定义：算法一般是指求解某个问题的长度有限的指令序列，每条指令都是确定的、简单的，机械的，可执行的．对于任一属于这个问题的实例的有效输入，应在有限步（一步执行一条指令）内给出结果（输出），并中止．算法语言就是比较高级的程序设计自动化语言，它与数学公式非常接近而与计算机的内部逻辑结构无关．

用二分法求方程的近似解，由于计算量较大，而且都是程式化的步骤，因此二分法可以利用计算机程序，借助计算机解题．

６．布置课外作业 （１）精选课本上的习题；

（２）收集并阅读有关资料，写一篇古今中外数学家关于方程求解问题探索历程的文章．

报名表

0.01，所以，我们可将x2.53125作为函当精确度为0.01时，由于2.53906252.531250.0078125数f(x)lnx2x6零点的近似值，也即方程lnx2x60根的近似值． 提问6：能否根据刚刚求方程lnx2x60近似解的步骤总结用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤？ 给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： 1）确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0，给定精确度； 2）求区间(a,b)的中点c； 3）计算f(c)；

4）判断：（1）若f(c)0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)f(c)0，则令bc（此时零点x0(a,c)）；（3）若f(c)f(b)0，则令ac（此时零点x0(c,b)）．

5）判断：区间长度是否达到精确度？即若ab，则得到零点近似值；否则重复2——5．

（三）课堂练习

求方程x33x10的近似解（精确度为0.1）

（四）课堂小结

1、什么是二分法？具有什么特点的函数适合用二分法求其零点的近似解？

2、利用二分法求方程近似解的步骤

3、本节课运用了哪些数学思想方法

（五）课后作业

P89练习2 阅读课本P89-P91

解方程的教案 教学内容：数学书P57——P61 教学目标： 1、结合具体的题目，让学生初步理解方程的解与解方程的含义 2、会检验一个具体的值是不是方程的解，掌握检验的格式。 3、进一......

用四舍五入法求近似数 教学目标： 1．结合我国少数民族人口数的具体事例，经历把精确数用四舍五入法改写成以“万”为单位的近似数的过程。 2．知道什么是精确数，理解四舍五入法的意......

练习 教学目标： 1、通过阅读小知识，了解0这个最小的自然数。 2、进一步巩固根据实际问题的需要求一个数的近似数。 教学重点：了解自......

课题：解方程 教学内容：P57,及“做一做”，练习十一第4题。 教学目标：1、结合具体的题目，让学生初步理解方程的解与解方程的含义。 2、会检验一个具体的值是不是方程的解，掌握检验的......

2. 解简易方程 方程的意义 教学内容： 数学书P62-63内容及“做一做”，练习十四1-3题。 教学目标： 1、初步理解方程的意义，会判断一个式子是否是方程。 2、会按要求用方程表示出......

五年级数学上《解方程（一）》教案 教学目标： 知识与技能： （1）使学生初步理解“方程的解”、“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。 （2）能用等式的性质解......