一、研究的意义
二、DFT的定义
三、DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
四、DFT的周期性
五、matlab实验
五.1 程序
五.2 实验结果
一、研究的意义
DTFT计算公式，中的w取值是连续的而且从负无穷大到正无穷大，对于计算机处理是不可能的，需要无限细分无限区间。即使在DTFT小节中用matlab实现计算，也只是将(-pi,pi)区间划分成1600份来逼近DTFT的效果。
实际上真正用的是DFT，离散傅里叶变换。离散傅里叶变换可以将连续的频谱转化成离散的频谱去计算，这样就易于计算机编程实现傅里叶变换的计算。FFT算法的出现，使得DFT的计算速度更快。
二、DFT的定义
由上边的定义可知，w=(2*pi/N)*k ,k=0,1,......,N-1，所以w的范围为[0，(N-1/N)*2*pi]。因为是离散取值，实际的区间长度为N，但不含第N个点，w的范围就是[0，2*pi)。
也就是说DFT变换的频谱范围是在竖轴的右侧（ 0），而且取了FT变换的一个周期(0,2*pi)。
三、DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
四、DFT的周期性
以下的四个式子，在程序设计和理解程序中经常用到，wd、wa分别为数字角频率和其对应的模拟角频率。
（1），描述了模拟角频率、数字角频率以及DFT变换的k之间的对应关系
（2），描述了数字角频率与模拟角频率之间的关系
（3），描述了数字角频率和DFT变换的k之间的关系
（4），描述了模拟角频率和DFT变换的k之间的关系
五、matlab实验
1、程序
1 M=4; %原离散信号有4点 2 n=[0:1:M-1]; %原信号是1行4列的矩阵 3 xn=[1 1 1 1]; %构建原始信号 4 subplot(3,1,1); 5 stem(n,xn); %画图 6 title('原始信号'); 8 N=16; %16点DFT变换 9 k=[0:1:N-1]; %k取值为0,1,2， ，1510 Wn=exp(-j*2*pi/N); %求Wn11 X=xn*(Wn.^(n'*k)); %求DFT变换，原始定义的方法，对复指数分量求和而得12 subplot(3,1,2);13 stem(k,abs(X));14 title('原信号的16点DFT变换');16 N1=8; %8点DFT变换17 k1=[0:1:N1-1]; %k取值为0,1,2， ，7 18 Wn1=exp(-j*2*pi/N1); %求Wn119 X1=xn*(Wn1.^(n'*k1)); %求DFT变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得20 subplot(3,1,3);21 stem(k1,abs(X1));22 title('原信号的8点DFT变换');说明：
（1）DFT的计算利用的是定义法
（2）程序第10行
程序第11行计算过程
2、实验结果
说明：上图结果证明了离散傅里叶变化是对FT变化在区间（0,2*pi）的等间距N点采样。
参考：西电《数字信号处理》第三版
用matlab对信号进行傅里叶变换